本シリーズでは、競馬に関わる数学的な要素について考えた結果を、備忘録の代わりに少しずつ書き残して行きたいと思います。なお、全体構成を考えた上で、投稿しているものではありませんので、体系的な物にはならないことをご了解下さい。取り合えず初回の今回は、「馬券を多点買いしたときのレース的中率」について考えてみます。
※ 数学的な意味で、厳密には不適切な表記があるかもしれない点はご容赦下さい。一方で、内容に関して本質的な間違いがありましたら、ご指摘を頂けますと大変助かります。
１－１．単勝２点買いの時のレース的中率
【設問】
Ａ，Ｂの２頭の馬の単勝率がそれぞれ$Ｐ(Ａ), Ｐ(Ｂ)$であるとき、この２頭の単勝馬券を同時に買った場合のレース的中率$Ｐｒ$を求めよ。但し同着は発生しないものとする。
【回答】
$$Ｐｒ＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)$$
【証明】
まず、ここでのレース的中率$Ｐｒ$はＡとＢの何れか一方が優勝する確率$Ｐ(Ａ\lorＢ)$と同意であり、$Ｐ(Ａ\lorＢ)$は一般に以下の様に展開できる。
$$Ｐｒ＝Ｐ(Ａ\lorＢ)
＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ\landＢ) … ①$$
ここで$Ｐ(Ａ\landＢ)$はＡとＢが同時に優勝する確率を意味しているが、同着は考慮しない条件から、
$$Ｐ(Ａ\landＢ)＝０ … ②$$
である。従って①と②から
$$Ｐｒ＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)$$
となる。
【補足】
本式は対象となる事象Ａと事象Ｂが排他的［$Ｐ(Ａ\landＢ)＝０$］であれば成り立つので、単勝に限らずＡとＢを馬連、馬単、三連複、三連単の各買目とし、$Ｐ(Ａ)$と$Ｐ(Ｂ)$がそれぞれの買目の的中率とすれば、本式は同様に成立する。
１－２．複勝２点買いの時のレース的中率
【設問】
Ａ，Ｂの２頭の馬の複勝率がそれぞれ$Ｆ(Ａ)，Ｆ(Ｂ)$とする。このとき、この２頭の複勝馬券を同時に買った場合のレース的中率$Ｆｒ$を求めよ。但し同着は発生しないものとする。
【回答】
不定
【証明】
前設問と同様に考えれば、
$$Ｆｒ＝Ｆ(Ａ)＋Ｆ(Ｂ)－Ｆ(Ａ\landＢ)$$
となる。ここで、ＡとＢの２頭が同時に１～３着に入る可能性はあるので、その確率は
$$Ｆ(Ａ\landＢ)\neq０$$
である。このとき、
\begin{eqnarray}Ｆ(Ａ)\geqqＦ(Ａ\landＢ)\\Ｆ(Ｂ)\geqqＦ(Ａ\landＢ)\end{eqnarray}
の制約条件はあるが、これらの条件を満たす$Ｆ(Ａ)，Ｆ(Ｂ)，Ｆ(Ａ\landＢ)$の組み合わせは無限に存在する。
以上から、複勝率が$Ｆ(Ａ)，Ｆ(Ｂ)$の複勝馬券２点を購入したときのレース的中率$Ｆｒ$は、$Ｆ(Ａ\landＢ)$が確定出来ないことから、不定となる。
【補足】
$Ｆ(Ａ\landＢ)$とはＡとＢの２頭のワイドの的中率を意味している。しかし、ＡとＢそれぞれの複勝率が判っているだけでは、ＡとＢのワイドの的中率を定めることが出来ない。これについて綺麗な証明を考えることは出来なかったが、恐らく簡単な証明は５頭立ての様な小頭数で全出走馬の単勝確率が既知であるときに、$Ｆ(Ａ)$と$Ｆ(Ｂ)$が同じでも$Ｆ(Ａ\landＢ)$が異なる例を示すことと思われる。