競馬に関わる数学的な要素について考えた結果を、備忘録の代わりに書き残して行くシリーズの５回目です。（一覧はこちら）
今回は、オッズと的中率と回収率の関係などについて考えます。
※ 数学的な意味で、厳密には不適切な表記があるかもしれない点はご容赦下さい。一方で、内容に関して本質的な間違いがありましたら、ご指摘を頂けますと大変助かります。
５－１．オッズと的中率と回収率の関係
【設問】
的中率とオッズと回収率の関係を示せ
【回答】
$$回収率＝的中率\cdotオッズ$$
【説明】
まず、平均回収率と平均的中率と平均オッズの定義は次の様に考えられる。
$$平均回収率＝\frac{総配当金額}{総購入金額} … ①$$
$$平均的中率＝\frac{総的中回数}{総購入回数} … ②$$
$$平均オッズ＝\frac{総配当金額}{的中馬券の総購入金額} … ③$$
このとき②式より、
\begin{eqnarray}
平均的中率&＝&\frac{総的中回数}{総購入回数}\\
&＝&\frac{総的中回数×１回の購入金額}{総購入回数×１回の購入金額}\\
&＝&\frac{的中馬券の総購入金額}{総購入金額}
\end{eqnarray}
$$\therefore総購入金額＝\frac{的中馬券の購入金額}{平均的中率} … ④$$
となる。さらに、①に④を適用すると
\begin{eqnarray}
平均回収率&＝&\frac{総配当金額}{\frac{的中馬券の購入金額}{平均的中率}}\\
&＝&平均的中率\cdot\frac{総配当金額}{的中馬券の購入金額}\\
&＝&平均的中率\cdot平均オッズ
\end{eqnarray}
これを複数レースではなく、１レースの場合として考えれば
$$回収率＝的中率\cdotオッズ$$
となる。
５－２．合成オッズの算出
【設問】
馬Ａと馬Ｂの単勝オッズがそれぞれ、$Ｏａ，Ｏｂ$であるとき、ＡとＢの単勝を同時に購入した場合の合成オッズ$Ｏａｂ$を求めよ。但し同着は発生しないものとし、ＪＲＡプラス１０は考慮しない。
【回答】
$$Ｏａｂ＝\frac{Ｏａ\cdotＯｂ}{Ｏａ＋Ｏｂ}$$
【証明】
まずレース全体の単勝の総投票金額を$Ｎｕ$とし、馬Ａと馬Ｂの単勝への投票金額をそれぞれ$Ｎａ，Ｎｂ$とし、ＪＲＡの払戻率を$δ$とする。このとき、$Ｏａ$と$Ｏｂ$は４－３より次の通り表される。
\begin{eqnarray}
Ｏａ＝δ\cdot\frac{Ｎｕ}{Ｎａ} … ①\\
Ｏｂ＝δ\cdot\frac{Ｎｕ}{Ｎｂ} … ②
\end{eqnarray}
同様にＡとＢの単勝を同時に購入したときの合成オッズＯａｂは、
$$Ｏａｂ＝δ\cdot\frac{Ｎｕ}{Ｎａ＋Ｎｂ} … ③$$
と表される。
ここで、③に①と②を適用すると
\begin{eqnarray}
Ｏａｂ&＝&δ\cdot\frac{Ｎｕ}{δ\cdot\frac{Ｎｕ}{Ｏａ}＋δ\cdot\frac{Ｎｕ}{Ｏｂ}}\\
&＝&\frac{１}{\frac{１}{Ｏａ}＋\frac{１}{Ｏｂ}}\\
&＝&\frac{Ｏａ\cdotＯｂ}{Ｏａ＋Ｏｂ}\\
\end{eqnarray}
【補足】
本例は勝ち馬が一つに定まるケースで成立するので、馬連、馬単、３連複、３連単についても同様に成立する。
$Ｏａ＝Ｏｂ$の場合は$Ｏａｂ＝\frac{Ｏａ}{２}＝\frac{Ｏｂ}{２}$となり、元のオッズの$\frac{１}{２}$となる。
５－３．合成回収率の算出
【設問】
馬Ａと馬Ｂの単勝的中率が$Ｐａ，Ｐｂ$、単勝オッズが$Ｏａ，Ｏｂ$であるとき、ＡとＢの単勝を同時に購入した時の合成回収率$Ｒａｂ$を求めよ。但し同着は発生しないものとし、ＪＲＡプラス１０は考慮しない。
【回答】
$$Ｒａｂ＝（Ｐａ＋Ｐｂ）\cdot\frac{Ｏａ\cdotＯｂ}{Ｏａ＋Ｏｂ}$$
【証明】
ＡとＢの何れかが勝つ確率Ｐａｂは１－１より
$$Ｐａｂ＝Ｐａ＋Ｐｂ … ①$$
である。また、ＡとＢの単勝を同時に買ったときの合成オッズ$Ｏａｂ$は５－２より
$$Ｏａｂ＝\frac{１}{\frac{１}{Ｏａ}＋\frac{１}{Ｏｂ}} … ②$$
ここで、合成回収率$Ｒａｂ$は５－１より
$$Ｒａｂ＝Ｐａｂ\cdotＯａｂ … ③$$
であるので、③に①と②を適用すると
$$Ｒａｂ＝（Ｐａ＋Ｐｂ）\cdot\frac{Ｏａ\cdotＯｂ}{Ｏａ＋Ｏｂ} … ④$$
となる。
【補足】
馬Ａと馬Ｂの単勝回収率をＲａ，Ｒｂとすると、
\begin{eqnarray}
Ｒａ＝Ｐａ\cdotＯａ\\
Ｒｂ＝Ｐｂ\cdotＯｂ
\end{eqnarray}
であり、これを用いて④式を整理すると、$Ｒａｂ$は⑤または⑥として表現することも出来る。
$$Ｒａｂ＝\frac{Ｒａ\cdotＯｂ＋Ｒｂ\cdotＯａ}{Ｏａ＋Ｏｂ} … ⑤$$
または
$$Ｒａｂ＝\frac{Ｐａ＋Ｐｂ}{\frac{Ｐａ}{Ｒａ}＋\frac{Ｐｂ}{Ｒｂ}} … ⑥$$