競馬に関わる数学的な要素について考えた結果を、備忘録の代わりに書き残して行くシリーズです。（一覧はこちら）
２回目の今回は単勝率とその他の的中率の関係を整理します。
※ 数学的な意味で、厳密には不適切な表記があるかもしれない点はご容赦下さい。一方で、内容に関して本質的な間違いがありましたら、ご指摘を頂けますと大変助かります。
２－１．単勝率と馬単の的中率の関係
【設問】
Ａ，Ｂの２頭の馬の単勝率がそれぞれ$Ｐ(Ａ)，Ｐ(Ｂ)$とする。このとき、このレースがＡ→Ｂの馬単で決着する確率$Ｐ(Ａ\toＢ)$を求めよ。但し同着は発生しないものとする。
【回答】
$$Ｐ(Ａ\toＢ)＝Ｐ(Ａ)\times\frac{Ｐ(Ｂ)}{１－Ｐ(Ａ)}$$
【証明】
まずＡが優勝する確率は$Ｐ(Ａ)$である。つぎにＡが優勝したとき、Ａを除いた馬の中でＢが１着になる確率は次の式で求めることが出来る。($Ｐ(Ａ)$と$Ｐ(Ｂ)$は同時に発生しない点に留意する。)
$$\frac{Ｐ(Ｂ)}{１－Ｐ(Ａ)}$$
従って、Ａ→Ｂの馬単で決着する確率$Ｐ(Ａ\toＢ)$は次式で求めることが出来る。
$$Ｐ(Ａ\toＢ)＝Ｐ(Ａ)\times\frac{Ｐ(Ｂ)}{１－Ｐ(Ａ)}$$
２－２．単勝率と馬連の的中率の関係
【設問】
Ａ，Ｂの２頭の馬の単勝率がそれぞれ$Ｐ(Ａ)，Ｐ(Ｂ)$とする。このとき、このレースがＡ－Ｂの馬連で決着する確率$Ｐ(Ａ－Ｂ)$を求めよ。但し同着は発生しないものとする。
【回答】
$$Ｐ(Ａ－Ｂ)＝Ｐ(Ａ)\timesＰ(Ｂ)\times｛\frac{１}{１－Ｐ(Ａ)}＋\frac{１}{１－Ｐ(Ｂ)}｝$$
【証明】
このレースがＡ→Ｂの馬単で決着する確率を$Ｐ(Ａ\toＢ)$、Ｂ→Ａの馬単で決着する確率$Ｐ(Ｂ→Ａ)$とすれば、Ａ－Ｂの馬連で決着する確率$Ｐ(Ａ－Ｂ)$は$Ｐ(Ａ\toＢ)$と$Ｐ(Ｂ\toＡ)$の何れかが発生する確率なので、
$$Ｐ(Ａ－Ｂ)＝Ｐ(Ａ\toＢ)＋Ｐ(Ｂ\toＡ)$$
である。ここで２－１に示す公式から２つの馬単の的中率を求めると、
\begin{eqnarray}Ｐ(A－Ｂ)&＝&Ｐ(Ａ)\times\frac{Ｐ(Ｂ)}{１－Ｐ(Ａ)}＋Ｐ(Ａ)\times\frac{Ｐ(Ｂ)}{１－Ｐ(Ｂ)}\\&＝&Ｐ(Ａ)\timesＰ(Ｂ)\times｛\frac{１}{１－Ｐ(Ａ)}＋\frac{１}{１－Ｐ(Ｂ)}｝\end{eqnarray}
となる。
２－３．単勝率と連対率の関係
【設問】
馬Ａの単勝率が$Ｐ(Ａ)$のとき、馬Ａの連対率$Ｑ(Ａ)$を求めよ。
【回答】
不定
【証明】
まず、Ａが２着となる確率を$Ｐ(Ａ２)$とすれば、Ａの連対率$Ｑ(Ａ)$は
$$Ｑ(Ａ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ａ２)$$
で求めることが出来る。
つぎに、単勝率$Ｐ(Ａ)$から$Ｐ(Ａ２)$を求めることを考える。
今、出走頭数がｎ頭で、Ａ以外の馬の単勝率を$Ｐ(ｉ)\scriptsize{ i=1～(n-1)}$とする。このとき、ｉ番目の馬が１着で、Ａが２着となる確率$Ｐ(ｉ\toＡ)$は２－１に示す公式から
$$Ｐ(ｉ\toＡ)＝Ｐ(ｉ)\times\frac{Ｐ(Ａ)}{１－Ｐ(ｉ)}$$
ここで１－１で示した証明から、Ａが２着になる確率はＡ以外の馬からＡへの馬単の的中率の総和となるので、
\begin{eqnarray}Ｐ(Ａ２)&＝&\sum_{i=1}^{n-1}Ｐ(ｉ\toＡ)\\&＝&\sum_{i=1}^{n-1}｛Ｐ(ｉ)\times\frac{Ｐ(Ａ)}{１－Ｐ(ｉ)}｝\\&＝&Ｐ(Ａ)\times\sum_{i=1}^{n-1}\frac{Ｐ(ｉ)}{１－Ｐ(ｉ)} … ①\end{eqnarray}
ここで、$Ｐ(Ａ)$と$Ｐ(ｉ)$の関には
$$Ｐ(Ａ)＝１－\sum_{i=1}^{n-1}Ｐ(ｉ) … ②$$
が成立するが、②式を用いて①式の$Ｐ(ｉ)$を消去することは出来ない為、①式を$Ｐ(Ａ)$のみで表すことは出来ない。即ち、$Ｐ(Ａ２)$を定めることが出来ないため、連対率$Ｑ(Ａ)$も定めることは出来ない。
【補足】
$Ｐ(Ａ２)$を求める為には全出走馬の単勝確率$Ｐ(ｉ)$が既知である必要がある。このとき連対率$Ｑ(Ａ)$も定めることが可能になる。
同様に、Ａの単勝率$Ｐ(Ａ)$からＡの複勝率$Ｆ(Ａ)$を求めることも出来ない。$Ｆ(Ａ)$を求めるためには、$Ｐ(Ａ２)$に加えてＡが３着になる確率$Ｐ(Ａ３)$を知る必要があるが、これを求めるには同様に全出走馬の単勝確率$Ｐ(ｉ)$を知る必要がある。